Corso Devisenhandel 212 As A Dezimal

Erkennen einer Währungsdominanz oder - abhängigkeit unter Verwendung von Devisennetzwerkbäumen Transkription 1 Erkennen einer Währungsdominanz oder - abhängigkeit unter Verwendung von Devisennetzwerkbäumen Mark McDonald, 1 Omer Suleman, 2 Stacy Williams, 3 Sam Howison, 1 und Neil F. Johnson 2 1 Mathematik Oxford University, Oxford, OX1 2EL, Vereinigtes Königreich 2 Physics Department, Oxford University, Oxford OX1 3PU, Vereinigtes Königreich 3 FX Research und Trading Group, HSBC Bank, 8 Canada Square, London E14 5HQ, Vereinigtes Königreich Empfangen am 15. Dezember 2004 überarbeitet Manuskript, das am 18. März 2005 veröffentlicht wurde, veröffentlicht am 7. Oktober 2005 In einem System, das eine große Anzahl von interagierenden stochastischen Prozessen enthält, gibt es typischerweise viele Nicht-Null-Korrelationskoeffizienten. Dies macht es schwierig, entweder die Interdependenzen des Systems zu visualisieren oder seine dominanten Elemente zu identifizieren. Eine solche Situation entsteht in Devisen FX, die weltweit größte Markt ist. Hier entwickeln wir eine Netzwerkanalyse dieser Korrelationen mit minimal spannenden Bäumen MSTs. Wir zeigen, dass die MSTs nicht nur eine sinnvolle Repräsentation der globalen FX-Dynamik darstellen, sondern sie auch ermöglichen, kurzfristig dominante und abhängige Währungen zu bestimmen. Wir finden, dass Informationen über die geographischen Beziehungen eines Landes aus den Rohdaten der Wechselkurse hervorgehen. Vor allem aus der Perspektive des Handels erörtern wir, wie man ableiten kann, welche Währungen während eines bestimmten Zeitraums im Spiel sind. DOI: PhysRevE-PACS-Nummer s. Fb, Hc, Gh I. EINFÜHRUNG Es gibt ein enormes Interesse an den Eigenschaften von komplexen Netzwerken 1 3. Es gab eine Explosion von Papieren in der physikalischen Literatur, die die strukturellen Eigenschaften biologischer, technologischer und sozialer Netzwerke analysiert, deren Hauptergebnisse sind Zusammengefasst in 3. Solche Netzwerke oder Graphen enthalten n Knoten oder Ecken i, die durch M Verbindungen oder Kanten verbunden sind. Im Fall von physikalischen Verbindungen, wie Drähten oder Straßen, ist es relativ einfach, eine Binärzahl, d. h. 1 oder 0, an die Flanke zwischen jeglichen zwei Knoten i und j zuzuordnen, je nachdem, ob die entsprechende physikalische Verbindung vorhanden ist oder nicht. Für soziale Netzwerke wie Freundschaftsnetzwerke 3 und biologische Netzwerke wie Reaktionswege 3 ist die Identifikation von Netzwerkverbindungen jedoch weniger klar. Tatsächlich ist es äußerst schwierig, eine bestimmte Kante als eine definierte Null oder eine zuzuweisen, stattdessen haben alle Kanten typischerweise einen Gewichtungswert ij, der eher analog als binär ist und der im allgemeinen weder gleich null noch eins ist. Die Analyse derartiger gewichteter Netzwerke liegt in den Kinderschuhen, insbesondere im Hinblick auf ihre funktionalen Eigenschaften und ihre dynamische Entwicklung 4. Die Hauptschwierigkeit liegt darin, dass das resultierende Netzwerk vollständig mit M n n 1-Verbindungen zwischen allen n Knoten verbunden ist. In symmetrischen Situationen, in denen ij ji, dies reduziert auf M n n 1 2 Verbindungen, ist aber immer noch groß für jede vernünftige n. Ein interessantes Beispiel für ein derartiges voll verbundenes gewichtetes Netzwerk wird durch den Satz von Korrelationskoeffizienten zwischen n stochastischen Variablen bereitgestellt. Jeder Knoten i entspricht der stochastischen Variablen x i t mit i1,2. N, und jede der n n 1 2 - Verbindungen zwischen Paaren von Knoten trägt ein Gewicht, das durch den Wert des Korrelationskoeffizienten ij gegeben wird, siehe Definition unten. Für jede vernünftige Anzahl von Knoten ist die Anzahl der Verbindungen sehr groß, z. B. Für n110, n n 1 25995 und daher ist es äußerst schwierig abzuschätzen, welche Korrelationen für die Steuerung der Gesamtdynamik des Systems am wichtigsten sind. Tatsächlich wäre es höchst wünschenswert, ein einfaches Verfahren zum Ableiten zu haben, ob bestimmte Knoten und somit eine gegebene Untermenge dieser stochastischen Prozesse tatsächlich die Korrelationsstruktur 5 steuern. Im Rahmen des Finanzhandels würde eine solche Knotensteuerung das Volk unterstützen Dass bestimmte Währungen über einen bestimmten Zeitraum im Spiel sein können. Offensichtlich könnten solche Informationen wichtige praktische Konsequenzen für das Verständnis der Gesamtdynamik des hochkonjugierten Devisenmarktes haben. Es könnte auch praktische Anwendungen in anderen Bereichen haben, in denen n interkorrelierte stochastische Prozesse parallel arbeiten. Mit dieser Motivation präsentieren wir hier eine Analyse des Korrelationsnetzwerks in einem wichtigen realen System, nämlich der Finanzwährung, d. H. Den Devisenmärkten. Obwohl die vorliegende empirische Analyse speziell für dieses Finanzsystem gewonnen wird, ist die Analyse, die wir bereitstellen, allgemeiner auf jedes System bezogen, das n stochastische Variablen und deren n n 1 2 Korrelationskoeffizienten einschließt. Es besteht kein Zweifel daran, dass die Devisenmärkte äußerst wichtig sind. 6 In der Tat ist der jüngste Rückgang des Dollarkurses gegenüber anderen wichtigen Währungen ziemlich geheimnisvoll und hat zahlreiche ökonomische Erklärungen zur Ablehnung seines dramatischen Rückgangs angezogen. Die Devisenmärkte, die den größten Markt der Welt darstellen, haben tägliche Transaktionen in Höhe von Billionen Dollar, die das jährliche BIP-Bruttoinlandsprodukt der meisten Länder übersteigen. Der technische Ansatz, den wir annehmen, ist durch neuere Forschungen in der Physikgemeinschaft von Mantegna und anderen 7 14 motiviert und betrifft die Konstruktion und Analyse von Minimalspanningbäumen MST, die nur n 1 Verbindungen enthalten. Mantegna und Mitarbeiter konzentrierten sich vor allem auf Aktien, dagegen berücksichtigen wir den Fall der Devisenmärkte und konzentrieren uns darauf, was die zeitabhängigen Eigenschaften des MST uns über die Entwicklung des Devisenmarkts erzählen können. Insbesondere untersuchen wir die Stabilität und Zeitabhängigkeit des resultierenden MST und führen eine Methode ein, um zu bestimmen, welche Währungen im Spiel sind, indem wir die Clustering - und Führungsstruktur innerhalb des MST-Netzwerks analysieren2). 4 Die American Physical Society 2 MCDONALD et al. Die Anwendung der MST-Analyse auf Finanzwerte, dh Aktien, wurde durch den Physiker Rosario Mantegna 7 eingeführt. Das MST gibt eine Momentaufnahme eines solchen Systems, es ist jedoch die zeitliche Entwicklung solcher Systeme und damit die Entwicklung der MSTs selbst, die motiviert unsere Forschung. In einer Reihe von Papieren 10, 12, Onnela et al. Erweiterte Mantegna s Arbeit zu untersuchen, wie solche Bäume im Laufe der Zeit an den Aktienmärkten entwickeln. Hier folgen wir einem ähnlichen Ansatz für Devisenmärkte. Ein Bereich von besonderem Interesse am Devisenhandel, der jedoch für korrelierte Systeme im Allgemeinen von Interesse ist, ist zu identifizieren, wenn eine der Währungen während einer bestimmten Zeitspanne im Spiel ist. Genauer gesagt, sind wir daran interessiert zu verstehen, ob bestimmte Währungen scheinen, eine dominierende oder abhängige Rolle innerhalb des Netzes zu übernehmen, und wie diese im Laufe der Zeit ändert. Da die Wechselkurse immer im Verhältnis zum Preis einer Währung verglichen werden, ist dies eine höchst nicht triviale Aufgabe. Zum Beispiel ist eine Erhöhung des Wertes des Euro gegenüber dem Dollar vor allem wegen einer Erhöhung der inneren Wert des Euro, oder eine Verringerung der inneren Wert des Dollars, oder beides Wir analysieren FX-Korrelationsnetzwerke in einem Versuch zu Fragen. Wir glauben, dass unsere Erkenntnisse, während sie direkt auf den Devisenmärkten beruhen, auch für andere komplexe Systeme relevant sein können, die n stochastische Prozesse enthalten, deren Wechselwirkungen im Laufe der Zeit entstehen. II. MINIMUM SPANNING TREE (MST) Bei einer Korrelationsmatrix, z. B. Von Finanzrenditen kann ein zusammenhängender Graph mittels einer Transformation zwischen Korrelationen und geeignet definierten Abständen 8 aufgebaut werden. Diese Transformation weist kleineren Abständen größere Korrelationen 8 zu. Der MST, der nur n & sub1; - Verbindungen enthält, kann dann aus dem resultierenden Hierarchischen aufgebaut werden Schaubild 8,15. Betrachten wir n verschiedene Zeitreihen, x i mit i 1,2. N, wobei jede Zeitreihe xi N Elemente enthält, d. H. N Zeitschritte. Die entsprechende nn-Korrelationsmatrix C kann leicht konstruiert werden und weist Elemente Cijjj auf, wobei ij x ix jxixj, 1 ij wobei ein Zeitmittelwert über die N Datenpunkte für jedes xi anzeigt und i die Standardabweichung der Zeit ist Serie x i. Aus der Form von ij ist klar, daß C eine symmetrische Matrix ist. Zudem sind alle diagonalen Elemente identisch 1. Daher besitzt C n n 1 2 unabhängige Elemente. Da die Anzahl relevanter Korrelationskoeffizienten wie n 2 zunimmt, kann selbst eine relativ kleine Anzahl von Zeitreihen eine Korrelationsmatrix liefern, die eine enorme Menge an Informationen enthält, die wohl zu viele Informationen für praktische Zwecke enthält. Im Vergleich dazu bietet das MST eine Skelettstruktur mit nur n 1 - Verbindungen und versucht daher, die Komplexität des Systems auf das Wesentliche zu reduzieren. Wie von Mantegna gezeigt, liegt die praktische Berechtigung für die Verwendung des MST in seiner Fähigkeit, wirtschaftlich sinnvolle Informationen bereitzustellen 7,8. Da das MST nur eine Teilmenge der Information aus der Korrelationsmatrix enthält, kann es uns nichts sagen, was wir grundsätzlich nicht durch Analyse der Matrix C selbst erhalten konnten. Wie bei allen statistischen Werkzeugen besteht jedoch die Hoffnung, dass sie einen Einblick in das Gesamtverhalten des Systems liefern kann, das nicht so leicht von der großen Korrelationsmatrix selbst erhalten würde. Um das MST zu konstruieren, müssen wir zuerst die Korrelationsmatrix C in eine Abstandsmatrix D umwandeln. 7,8 verwenden wir die nichtlineare Abbildung d ij ij 2 1 ij, um die Elemente d ij von D 16 zu erhalten. Da 1 ij 1, haben wir 0 d ij 2. Diese Distanzmatrix D kann als ein vollständig verbundenes gedacht werden Graph mit Kantengewichten d ij. In der Terminologie der Graphentheorie ist ein Wald ein Graph, bei dem es keine Zyklen 17 gibt, während ein Baum ein zusammenhängender Wald ist. So muss ein Baum mit n Knoten genau n 1 Kanten 3,17 enthalten. Der minimale Spannbaum T eines Graphen ist der Baum, der jeden Knoten enthält, so dass die Summe dij Td ij ein Minimum ist. Es gibt zwei Methoden, um den Algorithmus MST Kruskal s und den Prim-Algorithmus 9 zu konstruieren. Wir verwendeten den Kruskal-Algorithmus, dessen Details in 18 angegeben sind. Die Impulse für diese Forschung stammten aus der MST-Arbeit von Mantegna und Kollegen in der Ökonomie , Fällt die Aufgabe, ein hierarchisches Clustering eines Satzes von Zeitreihen zu finden, fest in den etablierten Bereich der Clusteranalyse. In einer Clusteranalyse sind zwei verschiedene Schritte erforderlich. Zuerst muss ein aussagekräftiger Abstand zwischen den Objekten definiert werden, die man das Distanzmaß anordnen möchte, dann kann man eine Clustering-Prozedur implementieren, um die Objekte zu gruppieren. Eine Einführung in die gebräuchlichsten Abstandsmaße und Clustering-Methoden findet sich in 19, die auch Hinweise darauf enthält, dass die Wahl des Clustering-Verfahrens mehr Einfluss auf die Qualität des Clusters hat als das gewählte Distanzmaß. Das zur Bildung des MST verwendete Clustering-Verfahren ist in der Clusteranalyse als das Single-Linkage-Clustering-Verfahren bekannt, das auch als die Nachbar-Technik 20, 21 bekannt ist. Dies ist die einfachste von einer wichtigen Gruppe von Clustering-Verfahren, die kollektiv als agglomerative hierarchische Clustering-Verfahren bekannt sind. Das Hauptproblem bei der MST-Einzelverknüpfungsmethode besteht darin, daß es eine Tendenz hat, schlecht geclusterte Gruppen in Ketten zu verknüpfen, indem sie nacheinander durch ihre nächsten Nachbarn verbunden werden. Daher würde man erwarten, dass die von der MST erzeugte Hierarchie größere Distanzen repräsentiert, die weniger zuverlässig antikorreliert sind als die kleineren Abstände, die stark korreliert sind. Da wir versuchen, hoch gruppierte Gruppen zu identifizieren, wird dies kein Problem sein. Wenn jedoch in anderen Situationen versucht wurde, ein MST zu verwenden, um schlecht korrelierte oder antikorrelierte Bestände für die Verwendung in der Portfolio-Theorie zu identifizieren, kann es vorzuziehen sein, ein anspruchsvolleres Gruppierungsverfahren zu verwenden. 3 DOMINANZ ODER FIG. 1. Farbe online Verzögerte Korrelation zwischen verschiedenen Währungspaaren, wenn GBP die Basiswährung ist. Wie im Text erläutert, bezieht sich AUD vs. USD-verzögert auf die verzögerte Korrelation zwischen GBPAUD zum Zeitpunkt t und GBPUSD zum Zeitpunkt t. III. DATEN A. Rohdaten Die von uns untersuchten empirischen Währungsdaten sind stündliche, historische Kursbuchungen aus der Datenbank der HSBC Bank für neun Währungspaare zusammen mit dem Goldpreis von 01041993 bis 1230 Gold in der Studie enthalten, da Ähnlichkeiten in der Dass es gehandelt wird, und in mancher Hinsicht ähnelt es einer sehr volatilen Währung. Die Währungspaare, die untersucht werden, sind AUDUSD, GBP USD, USDCAD, USDCHF, USDJPY, GOLDUSD, USD DEM, USDNOK, USDNZD, USDSEK 23. In der Terminologie, die in den Devisenmärkten 23 verwendet wird, ist USDCAD entgegengesetzt die Anzahl der kanadischen Dollar CAD, die sein können Gekauft mit einem US-Dollar USD. Wir müssen genau definieren, was wir mit stündlichen Daten, da Preise für verschiedene Währungspaare zu verschiedenen Zeiten gebucht werden. Wir wollen nicht die Durchschnittspreise verwenden, da wir wollen, dass die Preise, die wir untersuchen, Preise sind, auf denen wir Trades ausgeführt haben könnten. Für stündliche Daten verwenden wir daher den letzten gebuchten Preis innerhalb einer gegebenen Stunde, um den Stundenpreis für die folgende Stunde darzustellen. Wir betonen, dass die n stochastischen Variablen, die wir analysieren, den Devisenkursen entsprechen und somit die relativen Werte von zwei Währungen messen. Es ist effektiv bedeutungslos, den absoluten Wert einer bestimmten Währung zu fragen, da dies nur in Bezug auf ein anderes finanzielles Gut gemessen werden kann. Somit entspricht jedes Währungspaar einem Knoten in unserem Netzwerk. Wir beschäftigen uns mit den Korrelationen zwischen diesen Wechselkursen, die jeweils einer Kante zwischen zwei Knoten entsprechen. Ein gegebener Knoten entspricht nicht einer einzigen Währung. B. Datenfilterung Wie bei allen realen Systemen ist das Problem der korrekten Daten kompliziert. Insbesondere gibt es einige subtile Daten-Filterung oder so genannte Daten-Reinigung Fragen, die behandelt werden müssen. Solche Datenprobleme sind im Gegensatz zu den Naturwissenschaften eine Realität in den meisten Disziplinen, die sich mit menschlichen Zeitskalen und - aktivitäten befassen. In unserem konkreten Fall sind wir daran interessiert, sowohl die momentanen als auch die verzögerten Korrelationen zwischen den Wechselkursrenditen zu berechnen. Daher ist es notwendig, sicherzustellen, daß jede Zeitreihe eine gleiche Anzahl von gebuchten Preisen hat und b die n-te Buchung für jedes Währungspaar so gut wie möglich annähernd zu dem Preis entspricht, der zum gleichen Zeitpunkt tn für alle n gebucht wird 1. N. Für einige der stündlichen Zeitschritte haben einige Währungspaare fehlende Daten. Der beste Weg, um damit umzugehen ist die Interpretation. Sind die Daten fehlen einfach, weil es keine Preisänderung während dieser Stunde gab, oder gab es einen Fehler in der Datenerfassung System Betrachtet man die Daten, scheinen viele der fehlenden Punkte zu Zeiten auftreten, wenn man den Markt erwarten könnte Illiquid sein. Jedoch manchmal gibt es viele aufeinander folgende fehlende Datenpunkte sogar einen ganzen Tag. Dies ist offensichtlich ein Fehler in dem Datenaufzeichnungssystem. Um mit solchen fehlenden Daten umzugehen, haben wir das folgende Protokoll angenommen. Der Devisenmarkt ist zwischen den Stunden von 08:00 und 16:00 Uhr GMT 24 am flüssigsten. In dem Bestreben, die Auswirkung von Nulldurchlässen aufgrund eines Mangels an Liquidität auf dem Markt zu eliminieren, im Gegensatz zum Preis, der sich tatsächlich nicht bewegt Haben wir nur Daten zwischen diesen Stunden 25 verwendet. Wenn die fehlenden Daten für weniger als drei aufeinanderfolgende Stunden waren, wurden die fehlenden Preise als der Wert des zuletzt angegebenen Preises genommen. Wenn die fehlenden Daten drei oder mehr aufeinanderfolgende Stunden waren, wurden die Daten für diese Stunden von den 4 MCDONALD et al. FEIGE. 2. Farbe online Der minimale Spannbaum, der die Korrelationen zwischen allen stündlichen Cross-Rate-Renditen aus den Jahren 1993 und der Analyse darstellt. Da wir auch die Vollständigkeit der Daten an jedem Punkt sicherstellen müssen, ist es dann notwendig, daß die Daten für diese Stunden von allen Währungspaaren unter Untersuchung 26,27 weggelassen werden. Wir glauben, dass dieses Verfahren einen vernünftigen Kompromiss zwischen den widerstreitenden Forderungen der Einbeziehung aller relevanten Daten bietet und dennoch die Einbeziehung von falschen Nullrenditen vermeidet, die die Daten erheblich verschieben könnten. Schließlich wurden die Daten überprüft, um sicherzustellen, daß es keine äußeren Datenpunkte gab. C. Fremdwährungsdaten Zusätzlich zu den oben beschriebenen Problemen, die den Analysen all dieser realen Daten gemeinsam sind, gibt es weitere Themen, die spezifisch für FX-Daten sind und die die Untersuchung von FX und Aktien grundlegend unterscheiden. Bei der Herstellung der MST für die Renditen der Aktie, aus denen sich die FTSE100-Index, berechnet man die Renditen aus den Werten des Preises der Aktie in der gleichen Währung speziell, UK Pfund GBP. Bei FX-Daten berücksichtigen wir jedoch Wechselkurse zwischen Währungspaaren. So sollten wir betrachten GBPUSD oder USD GBP Und macht es tatsächlich einen Unterschied, die man verwendet Da die Korrelation konstruiert wird, um normalisiert und dimensionslos zu sein, könnte man versucht sein zu denken, dass es keine Rolle, da der Wert der Korrelation wird die sein Und nur das Zeichen wird anders sein. Jedoch ist es möglich 5 DETEKTION EINES WÄHRUNGSGEBIETS ODER FIG. 3. Farbe online Der minimale spannende Baum, der aus randomisierten Daten für die USD-Preise gebildet wurde. Dies zeigt nur die Struktur, die durch den Dreieckeffekt auf den Baum aufgebracht wird. Ist wichtig bei der Konstruktion des MST, da es eine Asymmetrie zwischen der Darstellung positiver und negativer Korrelationen als Abstände gibt. Insbesondere entnimmt der MST die kleinsten Abstände, d. h. die höchste Korrelation. Eine große negative Korrelation führt zu einem großen Abstand zwischen den Knoten. Somit wird eine Verbindung zwischen zwei Knoten vom Baum fehlen, obwohl sie enthalten wäre, wenn die andere Währung in dem Paar als Basiswährung verwendet würde. Betrachten Sie das folgende Beispiel. Es gibt eine große negative Korrelation zwischen den Renditen der beiden Währungspaare GBPUSD und USDCHF 28. Umgekehrt erhalten wir eine große positive Korrelation zwischen USDGBP und USDCHF, wenn wir beide mit USD als Basiswährung belegen. So wird aus unserer Wahl eine grundlegend andere Baumstruktur entstehen. Aus diesem Grund führen wir die Analyse für alle möglichen Währungspaare gegeneinander durch. Da wir zehn Währungspaare analysieren, ergeben sich daraus 11 getrennte Währungen und damit 110 mögliche Währungspaare und damit n110 Knoten. Allerdings gibt es Einschränkungen für diese Zeitreihen und damit eine 6 MCDONALD et al. FEIGE. 4. Farbe online Vergleich der Gradverteilungen der in Abb. 2 reale Daten und Fig. 3 randomisierte Daten. Intrinsische Struktur auf den Baum durch die Beziehungen zwischen den Zeitreihen auferlegt wird. Dies ist allgemein bekannt als der Dreieckseffekt. Betrachten Sie die drei Wechselkurse USD CHF, GBPUSD und GBPCHF. Das n-te Element der Zeitreihe für GBPCHF ist einfach das Produkt der n-ten Elemente von USDCHF und GBPUSD. Diese einfache Beziehung zwischen den Zeitreihen führt zu einigen Beziehungen zwischen den Korrelationen. Allgemeiner liegen mit drei Zeitreihen P & sub1; t, P & sub2; t, P & sub3; t mit P & sub3; t P & sub1; t P & sub2; t Beziehungen zwischen den Korrelationen und den Varianzen der Rückkehr vor. Wenn wir die Rückkehr r i so definieren, daß r i ln P i für alle i gilt, so haben wir Also r 3 r 1 r 2. 4 Fig. 6. Farbe online Vergleich der Ergebnisse aus dem MST mit denen aus der ursprünglichen Korrelationsmatrix. Für Währungspaare gilt es, anzunehmen, daß der Erwartungswert der Rückkehr Null ist. Daher vereinfacht sich dieser Ausdruck zu 3 2 E rrr 1 r Cov r 1, r 2 8. 9 wobei 1, 2, 3 die Varianzen der Rückkehr r 1 t, r 2 t, r 3 t sind, während 12 die Korrelation zwischen den Rückführungen r 1 t und r 2 t ist. Schließlich erhält man Fig. 5. Farbe online Der Cluster der GOLD-Wechselkurse aus Abb. Fig. 7. Farbe online Einstufiges Überlebensverhältnis als Funktion von T 7 ERKENNUNG EINES WÄHRUNGSGEBIETS ODER es gibt signifikante verzögerte Korrelationen zwischen den Renditen von verschiedenen Währungspaaren. Abbildung 1 zeigt die verzögerte Korrelation zwischen den Renditen eines jeden Währungspaares, wenn die Preise dieser Währungen mit GBP als Basiswährung angegeben werden. In der Figur bezieht sich AUD auf USD verzögert auf die verzögerte Korrelation zwischen GBPAUD zum Zeitpunkt t und GBPUSD zum Zeitpunkt t. Die Ergebnisse in dieser Abbildung sind repräsentativ für die Ergebnisse aller Währungspaare in unserer Studie enthalten. Abbildung 1 zeigt deutlich, dass der in 30 betrachtete Ansatz für FX nichts Nützliches bedeutet. Wenn solche verzögerten Korrelationen zwischen Währungspaaren bestehen, treten sie über eine Zeitskala auf, die kleiner als 1 h ist. Mit anderen Worten, der FX-Markt ist sehr effizient. Dies sollte nicht überraschen, dass der FX-Markt etwa 200-mal so flüssig ist wie der Aktienmarkt 6. 8. Color online Multistep Überlebensverhältnis der FX-Baum s Verbindungen, als Funktion der Zeit. Die Grafik zeigt die beiden im Text beschriebenen Definitionen, die dazu neigen, das Blau zu überschätzen und den Überlebenseffekt zu unterschätzen. 12 Daher gibt es eine Struktur, die durch den Dreieckseffekt auf den Markt gezwungen wird. Dies ist kein Problem, da alle Kreuzquoten, die wir in den Baum einschließen, existieren und die Korrelationen berechnet werden, die die richtigen Korrelationen zwischen den Renditen sind. Obwohl die Werte dieser Korrelationen einige Beziehungen zwischen ihnen haben, sollten sie in den Baum aufgenommen werden, da es genau diese Marktstruktur ist, die wir zu identifizieren versuchen. Wir müssen jedoch bestätigen, dass diese Struktur, die auf dem Markt auferlegt wird, nicht unsere Ergebnisse dominiert. IV. DIRECTED TREES In 30, die minimale spanning Baum Ansatz wurde durch die Berücksichtigung eines gerichteten Graphen verallgemeinert. Verzögerte Korrelationen wurden untersucht, um festzustellen, ob die Bewegung eines Aktienkurses der Bewegung in einem anderen Aktienkurs vorausgegangen ist. Wir untersuchen nun, ob dieser Ansatz hier nützliche Ergebnisse liefert. Zuerst sollten wir definieren, was wir mit der verzögerten Korrelation meinen. Wenn wir zwei Zeitreihen x i t und x j t haben, wobei beide Zeitreihen N Elemente enthalten, so ist die - gelagerte Korrelation gegeben durch ij x i t x j t x i t x j t i, j, 11 wobei ein Zeitmittelwert über die N Elemente und i angegeben ist. J sind die Muster-Standardabweichungen der Zeitreihen x i t bzw. x j t. Beachten Sie, dass Autokorrelation ist einfach der Spezialfall von diesem, wo i j. Bewaffnet mit dieser Definition können wir nun unsere Daten anschauen, um zu sehen, ob V. DER WÄHRUNGSBAUM Die Erstellung aller möglichen Kreuztarife aus den 11 Währungspaaren ergibt insgesamt n110 verschiedene Zeitreihen. Hier kommt der Ansatz zur Konstruktion des MST in den Vordergrund, da 110 verschiedene Währungen eine enorme Korrelationsmatrix mit 5995 separaten Elementen ergeben. Das sind viel zu viele Informationen, um jede praktische Analyse durch das Auge zu ermöglichen. Wie jedoch aus Fig. 2, die stündliche FX-Baum ist ganz einfach zu betrachten. Anstatt eine Masse von Zahlen haben wir nun eine grafische Darstellung des komplexen Systems, in dem die Struktur des Systems sichtbar ist. Vor der Analyse des Baumes im Detail, ist es lehrreich, zuerst zu prüfen, welche Wirkung die Einschränkungen von Gl. 12 der Dreieckeffekt auf die Form des Baumes haben wird. Abbildung 3 illustriert dies. Die in dieser Figur verwendeten Daten sind die gleichen Daten wie in Fig. 2, jedoch wurden die Preisreihen für die Währungen in USD randomisiert, bevor die Cross Rates gebildet wurden. Dieser Prozeß gibt die Preise für die verschiedenen Währungen in USD, die zufällig sind, und hat daher eine vernachlässigbare Korrelation zwischen ihren Renditen. Fig. Fig. 3 zeigt die durch den Dreieckseffekt auf den Baum gezwungene Struktur. Dieser Baum, der aus den Randomisierungsdaten resultiert, wie oben beschrieben, ist tatsächlich sehr unterschiedlich im Charakter vom wahren Baum in Fig. 2. Auf den ersten Blick mag es vorkommen, dass einige Aspekte ähnliche Währungen in beiden Fällen eine Clusterbildung zeigen. Im Baum der realen Kreuzungsraten gibt es jedoch Währungscluster, die sich um jeden Knoten bilden, wohingegen in Fig. 3 gibt es nur Cluster, die auf dem USD-Knoten zentriert sind. Das ist nicht verwunderlich: Was haben die CHF alles, was alle Preise haben, im Falle von zufälligen Preisen außer der CHFUSD-Rate gemeinsam? 3 ist, dass wir einen Baum von USD-Knoten haben, die beabstandet sind, da ihre Renditen schlecht korreliert sind, und um diese Knoten haben wir Cluster von anderen Knoten, die die gleiche Basiswährung haben und die effektiv die Information von dem USD-Knoten plus Rauschen sind. Diese Übung zeigt uns, dass die MST-Ergebnisse nicht durch den Dreieckeffekt dominiert werden. In einem Versuch, dies in einer quantitativeren Weise zu zeigen, untersuchen wir den Anteil der Verbindungen, die in beiden Bäumen vorhanden sind. Weniger als ein Drittel der Kanten in Fig. 2 sind in Fig. 8 MCDONALD et al. FEIGE. 9. Farbe online Währungsbaum MST für eine 2-wöchige Periode im Juni Ein weiterer quantitativer Vergleich ist, die Gradverteilung des Baums aus der zufälligen Preisreihe mit der des Baumes aus realen Preisdaten zu vergleichen. Dies ist in Fig. 2 graphisch dargestellt. 4. Dies wiederum unterstreicht die Unterschiede zwischen den beiden Bäumen. Nun, da wir den Baum produziert haben, wie interpretiert man ihn trotz des ersten Eindrucks, ist der Baum eigentlich sehr einfach zu interpretieren. Es enthält farbige Knoten, die jeweils ein bestimmtes Währungspaar darstellen. Aus den oben erläuterten Gründen werden Währungspaare in beide Richtungen zitiert: USDJPY erscheint mit USD als Basiswährung, wie es üblich ist, aber JPYUSD. Dies gibt allen Währungen die Chance, sich als Cluster herauszustellen, wie in Kürze zu sehen sein wird. Die Währungspaarknoten werden je nach markierter Basiswährung farbcodiert. Im Großen und Ganzen ist jeder Knoten mit den Knoten verbunden, die die 9 DETEKTIONSWÄHRUNG s DOMINANZ ODER FIG. 10. Farbe online Währung Baum MST für einen Zeitraum von 2 Wochen im Juli Währungspaare, auf die es am engsten korreliert ist. Die Beobachtung, dass bestimmte Währungspaare zusammenhängen, bedeutet, dass sie sich konsequent über den überwachten Zeitraum bewegt haben. Das interessanteste Merkmal von Fig. 2 ist die Gruppierung von Knoten, die die gleiche Basiswährung haben. Zum Beispiel kann man einen Cluster von 9 AUD-Knoten sehen. Diese Beobachtung zeigt, dass sich der Australische Dollar in diesem Zeitraum während dieser zwei Jahre systematisch gegen eine Reihe anderer Währungen bewegt hat. Um die vorherrschende Industrie Begriff verwenden, ist die AUD im Spiel. Das gleiche gilt auch für die SEK-, JPY - und GOLD-Cluster. Es ist ermutigend, dass der Cluster der GOLD-Wechselkurse die Währungen vernünftig miteinander verbindet. Dieser Cluster wird in Fig. 5. Es ist ersichtlich, dass die Knoten in diesem Cluster in einer ökonomisch sinnvollen Weise gruppiert sind: bemerkenswert ist, dass es eine geographische Verknüpfung der Wechselkurse gibt. Die australischen Knoten, AUD und NZD, sind ebenso verbunden wie die amerikanischen USD und CAD. Auch die skandinavischen Währungen SEK und NOK sind miteinander verbunden. Schließlich gibt es einen europäischen Cluster von GBP, CHF und EUR. Dies stellt eine nützliche Überprüfung, dass unsere Ergebnisse sind vernünftig. In der Tat, wenn diese geographische Clusterbildung nicht entstanden wäre, wäre es ein guter Hinweis darauf, dass etwas mit unserer Methodik falsch war. Nun, da es möglich ist, Cluster von Währungen zu identifizieren, möchten wir quantifizieren, wie gruppiert sie sind. Dies kann getan werden, indem die Ebene 1 gefunden wird, um die hierarchische Struktur, die dem MST 15 zugeordnet ist, zu partitionieren, um alle Knoten mit beispielsweise USD als Basiswährung in demselben Cluster zu erhalten. Dies führt zu einer selbst-clustering Distanz für jede Währung. Je kleiner dieser Abstand ist, desto enger werden alle Knoten für diese Währung geclustert. Eine alternative Möglichkeit, dies zu denken, ist der maximale ultrametrische Abstand zwischen zwei beliebigen Knoten für diese Währung. Wir sind nun in der Lage, die Ergebnisse des MST mit denen der ursprünglichen Distanzmatrix zu vergleichen. Vergleichen wir den Selbst-Gruppierungsabstand für jede Währung mit dem maximalen euklidischen Abstand zwischen zwei beliebigen Knoten mit dieser Basiswährung und auch mit dem mittleren euklidischen Abstand zwischen allen Knoten mit dieser Basiswährung 10 MCDONALD et al. Dies ist in Fig. 3 gezeigt. 6. Es ist ersichtlich, dass die Übereinstimmung zwischen den beiden Ergebnissen sehr gut ist. Nicht nur die MST Rang der Cluster in der gleichen Weise wie die ursprüngliche Distanzmatrix tut, gibt es Ergebnisse, die besser mit dem durchschnittlichen Abstand als mit dem maximalen euklidischen Abstand. Daher sind die Ergebnisse für das MST und die ursprüngliche Abstandsmatrix nicht nur einig, die MST-Ergebnisse sind auch robust gegenüber einer einzigen großen Kante, die zwischen zwei Knoten mit derselben Basiswährung enthalten ist. Wie oben erwähnt, hat das MST den Vorteil gegenüber Standardnetzwerkdarstellungen, da es nur n 1 Verbindungen erfordert. VI. STABILITÄT UND ZEITLICHE EVOLUTION DES WÄHRUNGSBAUMES Wir untersuchen nun das einstufige Überlebensverhältnis der Kanten t E t E tt, 12 E, wobei E t und E tt die Menge der Kanten darstellen, die in den aus einem Datensatz der Länge T1000 gebildeten Bäumen vorhanden sind H 31 beginnend zu den Zeiten t und tt, um zu sehen, wie dieses Verhältnis von dem für t gewählten Wert abhängt. Dieses Verhältnis muss zu einem t neigen, da sich 0 für unsere Ergebnisse als sinnvoll erweist. Die Ergebnisse sind in Fig. 7 und es ist ersichtlich, daß es tatsächlich der Fall ist, daß dieses Verhältnis zu eins neigt, wenn t 0 nähert. Somit ist die Topologie des MST stabil. Als nächstes untersuchen wir die Zeitabhängigkeit des Baumes. Onnela 9 definiert das k Multistep-Überlebensverhältnis zu t, k E t E t t E tk t. 13 E Wenn also ein Link für nur einen der Bäume in der Zeit t bis t t verschwindet und dann zurückkommt, wird er nicht in diesem Überlebensverhältnis gezählt. Dies scheint eine möglicherweise zu restriktive Definition zu sein, die das Überleben unterschätzen könnte. Wir betrachten daher die großzügigere Definition t, k E t E tk t. Diese Menge wird für große Werte von k Fälle umfassen, in denen die Verbindungen verschwinden und dann mehrere Zeitschritte später zurückkehren. Es neigt daher dazu, das Überleben zu überschätzen, da ein Wiederauftreten nach einer solchen langen Lücke eher durch eine sich ändernde Struktur verursacht wird als durch eine kurze, unbedeutende Fluktuation. Fig. 8 zeigt beide Definitionen und verwendet ein Zeitfenster der Länge T1000h und einen Zeitschritt t1h. Aus der Figur ist ersichtlich, dass die beiden Linien einen Korridor für das mehrstufige Überlebensverhältnis bilden. Dies liegt daran, daß die überschränkende Definition von Gl. 13 unterschätzt das Überleben und die übergroße Definition von Gl. 14 überschätzt das Ergebnis. Es ist besonders bemerkenswert, dass auch bei der überschreitenden Definition von Gl. 13 ist das Überleben der Verbindungen nach dem Ende von 2 Jahren nur knapp unter 50, d. h. 54109. Mit anderen Worten, es bestehen starke Korrelationen zwischen Wechselkursrenditen, die extrem langlebig sind. VII. INTERPRETATION VON BÄUMEN VON RECENT DATA Wir wissen aus unserer Analyse, dass Cluster im MST auftreten und dass sich diese Cluster im Laufe der Zeit verändern. Als nächstes illustrieren wir die Bedeutung dieser in der Praxis. Wir werden dies durch die Analyse von zwei Bäumen, die ein Kalendermonat auseinander. Abbildung 9 zeigt ein Beispiel für einen Währungsbaum aus einer Periode im Juni Abbildung 9 zeigt einen starken, braunen NZD-Cluster in der Nähe des unteren Teils des Baums. Die NZD ist im Spiel, um die vorherrschende Industrie Begriff eingeführt oben. The selfclustering distance for NZD is The same is true for the yellow-colored Canadian dollar CAD, which has also formed a cluster, with a self-clustering distance of Other clusters are also evident, including a red Swiss franc CHF cluster, which has formed near the top of the tree. In contrast, the Sterling currency-pairs are dispersed around the tree, indicating that there is little in common in their behavior. In short, Sterling is not in play. If the trees were static, this would be the end of the story. However, we have already shown that the trees do change over time. Figure 10 shows the equivalent currency-tree 1 month later. The CAD cluster is still evident and, in fact, has strengthened: all nine CAD nodes are linked together and the self-clustering distance is now at the smaller value of The NZD cluster is still evident, this time near the top of the figure and is, in fact, slightly stronger with a selfclustering distance of More interesting are the clusters which have changed. The CHF cluster has completely disintegrated the CHF nodes are scattered over the tree. Hence the Swiss franc is no longer in play. Conversely, there is now an American dollar USD cluster which has formed, indicating that the dollar has become more important in determining currency moves. In short, it has become possible to identify currencies which are actively in play and are effectively dominating the FX market. Sometimes, when currencies are in play, it will be obvious to traders: for example, when there is a large and sustained USD move. However, this is not always the case, and our currency trees are able to provide an indication of how important i. e. how much in play a particular currency is. In addition to using the tree as a graphical tool, it is possible to quantify how clustered a particular currency is by calculating the self-clustering distance. VIII. CONCLUSIONS We have provided a detailed analysis of the minimal spanning trees associated with empirical foreign exchange data. This analysis has highlighted various data-related features which make this study quite distinct from earlier work on equities. We have shown that there is a clear difference between the currency trees formed from real markets and those formed from randomized data. For the trees from real markets, there is a clear regional clustering. We have also inves 11 DETECTING A CURRENCY s DOMINANCE OR tigated the time-dependence of the trees. Even though the market structure does change rapidly enough to identify changes in which currency pairs are clustering together, there are links in the tree which last over the entire 2 year period. This shows that there is a certain robust structure to the FX markets. We have also developed a methodology for interpreting the trees which has practical applications: the trees can be used to identify currencies which are in play. While this does not have predictive power, it helps one to identify more accurately the state the market is currently in. Armed with this information, one can be more confident of the predictions made from other models. In future work, we will look at trying to isolate the effect of news on the FX market in other words, the extent to which external news shakes the FX tree. Of particular interest is whether particular clusters have increased robustness over others, or not. In addition, we shall be investigating how tree structure depends on the frequency of the data used. 1 D. J. Watts and S. H. Strogatz, Nature London 393, D. S. Callaway, M. E. J. Newman, S. H. Strogatz, and D. J. Watts, Phys. Rev. Lett. 85, S. N. Dorogovtsev and J. F. F. Mendes, Evolution of Networks: From Biological Nets to the Internet and WWW Oxford University Press, Oxford, See for an up-to-date listing of all network papers and preprints. 5 We assume that the correlation structure is specified by the correlation coefficients. 6 M. M. Dacorogna, R. Gencay, U. Muller, R. B. Olsen, and O. V. Pictet, An Introduction to High Frequency Finance Academic Press, New York, R. N. Mantegna, Eur. Phys. J. B 11, R. N. Mantegna and H. E. Stanley, An Introduction to Econophysics: Correlations and Complexity in Finance Cambridge University Press, Cambridge, J.-P. Onnela, M. Sc. thesis, Department of Electrical and Communications Engineering, Helsinki University of Technology, J.-P. Onnela, A. Chakraborti, K. Kaski, and J. Kertesz, Phys. Scr. T 106, J.-P. Onnela, A. Chakraborti, K. Kaski, and J. Kertesz, Physica A 324, J.-P. Onnela, A. Chakraborti, K. Kaski, J. Kertesz, and A. Kanto, Phys. Rev. E 68, G. Bonanno, G. Caldarelli, F. Lillo, and R. N. Mantegna, Phys. Rev. E 68, G. Bonanno et al. EUR. Phys. J. B 38, R. Rammel, G. Toulouse, and M. A. Virasoro, Rev. Mod. Phys. 58, For a discussion as to why this function is used as the definition of distance and not, say, d ij 1 ij, see Chapter 13 of Ref. 8. This formula simply approximates to the standardized Euclidean distance metric between two time series x i and x j. The only reason this formula appears so counterintuitive is because the result is given in terms of the correlation between the two time series rather than as a sum over the elements of the series. In fact, for the MST, monotonic transformations of the distance function will give the same MST 21, with the edge weights all suitably transformed. Thus it makes no difference whether d ij 2 1 ij or d ij 1 ij. We chose d ij 2 1 ij for compatability with previous econophysics MST work. 17 B. Bollobas, Graph Theory, An Introductory Course Springer - Verlag, Berlin, T. H. Cormen, C. E. Leiserson, and R. L. Rivest, Introduction to Algorithms MIT Press, Cambridge, MA, P. Hirst, M. Sc. thesis, Oxford Centre for Industrial and Applied Mathematics, Oxford University, L. Kaufman and P. J. Rousseeuw, Finding Groups in Data. An Introduction to Cluster Analysis Wiley-Interscience, New York, J. C. Gower and G. J. S. Ross, Appl. Stat. 18, This is over datapoints. 23 The acronyms are standard ones in the FX market see the webpage for details, where AUD means Australian dollar, GBP is UK pound, CAD is Canadian dollar, etc. The exception is GOLDUSD which is quoted as XAUUSD in the markets, however, for clarity, we have replaced the rather obscure symbol XAU with GOLD. Also, for the trees from 1993 to 1994 DEM is present in the tree however, in the recent trees this currency has been replaced with EUR. For more information on terminology and functioning of the FX markets, see F. Taylor, Mastering FX and Currency Options Financial Times Press, London, M. H. Jensen, A. Johansen, F. Petroni, and I. Simonsen, Physica A 340, If there were no missing data points, this would give rise to a dataset of 4680 data points. 26 This gave rise to the final dataset which contained 4608 data points. Therefore the data cleaning procedure removed less than 2 of the 4680 possible data points. 27 R. S. Pindyck and D. L. Rubinfeld, Econometric Models and Economic Forecasts McGraw-Hill, New York, Even though quoting the two exchange-rates in this form seems slightly idiosyncratic, it is actually how the rates are quoted on the market. Most currencies are quoted with USD as the base currency. However, GBPUSD is quoted in this unusual form because historically GBP was not based on a decimal system. 29 We note that the interest-rate differentials are close to zero and the time period of 1 h is tiny. We also note that when price changes are small, as discussed in Ref. 8, it makes little difference in terms of the overall behavior as to which precise definition of returns one uses. 30 L. Kullmann, J. Kertesz, and K. Kaski, Phys. Rev. E 66, T1000 hourly data points corresponds to just under half a year of dataVoorlopige stopzetting nieuwe inschrijvingen Kids Zone Om de groepen niet groter te maken heeft de Raad van Bestuur van AVLO vrijdag beslist GEEN nieuwe inschrijvingen toe te laten in Lokeren bij de kangoeroes, benjamins en pupillen. Heeft jouw zoondochter interesse om met atletiek te starten Gebruik deze aanmeldingslink en blijf op die manier op de hoogte met de nodige info voor volgend seizoen. Belangrijk: in Zele is er voorlopig GEEN inschrijvingsstop. Heb je toch al vragen (dat kan zeker) twijfel niet om contact op te nemen met de jeugdcooumlrdinator Berten De Vleeschauwer (berten. dvgmail of 049728.06.11). Volgende afhaal - en bestelmomenten (met mogelijkheid tot passen): woensdag 1 februari 17u30-19u Miniemen en cadetten Organisaties Atletiekinfo Copyright 2015 AVLO vzw. Alle rechten voorbehouden. La mia casa imperfetta Oggi vi voglio parlare di Morgan Pharma . Morgan Pharma nasce nel 1993. Inizialmente il suo lavoro incentrato verso la distribuzione della linea Eubos ma successivamente ha avuto una evoluzione realizzando prodotti a marchio proprio, destinati a completare la gamma EUBOS con soluzioni mirate per problematiche ed esigenze specifiche della pelle. Attraverso questo percorso alla fine del 2004 divenuta vera e propria industria farmaceutica con una gamma di cortisonici ad uso topico. La sua evoluzione poi prosegue nel corso degli anni e arrivando a produrre altre linee da affiancare a quelle gi esistenti: nascono cos la linea IMMUNO e DERMAVAL . Quindi come avete capito un8217azienda in crescita e a tal proposito nel sito si legge 8220In questi ultimi anni Morgan Pharma ha conosciuto un costante e coerente processo di sviluppo. Questo importante passo stato il compimento di una strategia coerente su cui si impostato il lavoro, ponendosi lobiettivo di essere per il medico specialista un partner in grado di offrire, con approccio integrato. valide soluzioni in ambito dermocosmetico, dietetico e farmaceutico sempre con specialit ben collaudate, sicure ed efficaci, garantendo tutti i relativi standard qualitativi dal punto di vista organizzativo, tecnico e scientifico. normativo. di controllo e di farmacovigilanza di una azienda farmaceutica.8221 La missione aziendale quella di capire e individuare le esigenze e le necessit degli specialisti in modo da potergli dare un supporto e quindi prodotti validi sia in campo farmaceutico, dermatologico che nutrizionale puntando sempre verso l8217eccellenza massima. Come vedete quindi la sua filosofia quindi mirata a gestire e quindi produrre prodotti eccellenti in modo da risolvere molti problemi che si potrebbero avere a livello fisico, stando appunto attenti ottenere il miglio risultato. Naturalmente io vi ho dato alcune notizie generali sull8217azienda ma se ne vorrete avere di maggiori e pi approfondite sul sito troverete tanto altro. Parlando dei prodotti nel sito troverete tre categorie: 8211 per trattamento 8211 per tipo di pelle - per linea. All8217interno di esse vi sono catalogati tutti quelli a disposizione in modo tale da avere sempre una facile ricerca di quello specifico in base alla vostra esigenza. Io ho avuto la possibilit di testarne alcuni e quindi di poter avere una mia idea sul loro risultato. - LINEA PELLE SECCA . CREMA PIEDI UREA 10 (per pelli secche screpolate e con callosit, indicato anche nel piede diabetico), CREMA MANI 5 ( trattamento di protezione intensiva e rigenerante della pelle ruvida e screpolata delle mani), BODY LOTION 10 (per un trattamento intensivo di idratazione del corpo di pelle secche, pruriginose e desquamanti) Questi prodotti non li ho testati io personalmente ma li ho fatti provare a mio fratello perch essendo lui un artigiano edile ha una pelle molto pi secca e callosa delle ma. Ha provato tutte e tre le tipologie e dopo alcuni giorni di utilizzo ha visto mani e dei piedi. Ha avuto miglioramenti notevoli, anche rispetto ad altre creme. In particolare i piedi erano pi morbidi e le callosit tendevano a ridursi e le mani erano pi distese e meno ruvide. Ha trovato beneficio nell8217utilizzarli e senza avere problemi di nessun tipo. - LINEA SENSITIVE . EMULSIONE CORPO (per un8217efficace trattamento dermatologico ad azione lenitiva e rigenerante su vaste superfici), CREMA MANI (per mani secche e screpolate, ruvide e irritate. Crema ad assorbimento rapido per un uso quotidiano), OLIO DOCCIA (per una detersione delicata e rilipidizzante di pelli sensibili e irritate), CREMA VISO ( crema ad effetto distensivo e rivitalizzante). Questi prodotti sono davvero leggeri e morbidi caratterizzati da un ottimo profumo non eccessivo e no fastidioso. Si stendono facilmente e altrettanto velocemente vengono assorbiti dalla pelle. La quantit necessaria davvero poca in relazione all8217area da trattare infatti con pochissimo prodotto si riesce ad idratare la pelle del viso o delle mani ad esempio. Cosa fondamentale oltre all8217ottimo risultato che non ungono. In particolare la crema viso l8217ho fatta provare anche a mia mamma perch molte creme le fanno lacrimare gli occhi a causa di alcune sostanza contenute, anche naturalmente stando attenta a non stenderle nel contorno occhi. Con questa crema invece si trovata molto bene e non ha avuto questo problema, segno quindi dell8217attenzione con la quale viene prodotta. - DETERGENTI . SHAMPOO DELICATO (trattamento delicato di igiene e protezione quotidiana dei capelli, anche devitalizzati e del cuoio capelluto) DETERGENTE LIQUIDO (per una detersione delicata di pelli normali e miste) Questi sono detergenti molto delicati e leggeri che formano una schiuma non aggressiva ma molto efficace. Lo shampoo rende i capelli leggeri e morbidi, facilmente pettinabili con un profumo delicato, e il detergente liquido idrata e pulisce la pelle in profondit lasciandola morbida e setosa. - LINEA PEDIATRICA . POMATA PANTENOLO 5 (trattamento ad alto contenuto lipidico per la rigenerazione e ripitelizzazione di pelli normali o miste) Ottima crema per arrossamenti dovuti a pannolini. Io l8217ho provata anche per arrossamenti della pelle dovuti ad eventi atmosferici e prurito e il risultato stato rapido, l8217arrossamento ed il prurito sono stati subito calmati. In conclusione i prodotti che ho provato provare hanno mantenuto le promesse indicate sulle confezioni, davvero ottimi prodotti consigliabilissimi. Se volete provarli sul sito troverete tutti i punti vendita divisi regione per regione, semplice basta cliccare sulla vostra e individuerete quella pi vicina a voi Inoltre c8217 anche un8217offerta in corso, infatti acquistando una confezione di POMATA PANTENOLO 5 riceverete in omaggio un OLIO BAGNO 8230. non lasciatevela scappare Per visionare gli altri prodotti vi invito ad andare sul sito morganpharma. it e per qualunque dubbio o necessit non esitate a contattarli via mail vi risponderanno molto cordialmente Se vi va seguitemi sulla mia pagina facebook. cliccando mi piace rimarrete sempre aggiornati sulle ultime novit Lascia un Commento 990 commenti